Fehler bei der Berechnung von Druckstößen - und wie man sie vermeidet

Gültigkeit der Joukowsky-Gleichung

Die bekannteste Gleichung zur Berechnung von Druckstößen ist sicherlich die Joukowsky-Gleichung, die bereits 1898 von Nikolai Joukowsky veröffentlicht wurde. Der Druckstoß ergibt sich aus dem Produkt von Dichte, Wellenausbreitungsgeschwindigkeit und Geschwindigkeitsänderung:

Joukowsky

Häufig wird behaupt, dass mit der Joukowsky-Gleichung der maximal mögliche Druckstoß berechnet wird. Das gilt jedoch nur, wenn für das untersuchte System auch die Vereinfachungen gelten, die Joukowsky bei der Herleitung der Gleichung angenommen hat. Gelten diese Vereinfachungen nicht, dann kann der Druckstoß auch deutlich größer sein. Welche Annahmen liegen also der Joukowsky-Gleichung zu Grunde?

  • Die Geschwindigkeitsänderung ist klein im Vergleich zur Wellenausbreitungsgeschwindigkeit und die Dichteänderung ist vernachlässigbar. Diese Randbedingungen werden in Flüssigkeiten praktisch immer erfüllt sein, bei Gasströmungen mit höheren Geschwindigkeiten ist diese Annahme jedoch zu prüfen.
  • Reibungseffekte werden vernachlässigt. Insbesondere bei langen Leitungen und/oder viskosen Medien ist diese Vereinfachung nicht zulässig. Als Beispiel sei hier eine Erdölpipeline genannt. Der Reibungsdruckverlust kann hier eine beträchtliche Größe annehmen. Bei einem Stillstand der Strömung in Folge eines Ventilschließvorganges ist auch keine Reibung mehr vorhanden und die nun fehlende Druckreduzierung durch den Reibungsdruckverlust führt zu einem zusätzlichen Druckanstieg, der auf den Joukowsky-Stoß „draufgepackt“ wird.
  • Die Joukowsky-Gleichung gilt nur für eine ungestörte Ausbreitung der Druckwelle. D.h. es wird angenommen, dass die Rohrleitung gerade und unverzweigt ist. Diese Bedingung wird in den seltensten Fällen erfüllt sein. Bereits ein Abzweig einer kleinen Hilfsleitung (z.B. Messleitung oder Entleerung) kann zur Aufteilung und Reflektion der Druckwelle führen. Dadurch sind komplexe Überlagerungen von Druckwellen möglich, deren Amplitude den ursächlichen Joukowsky-Stoß deutlich übertreffen kann.
  • Wie bereits angesprochen gilt Joukowsky nur, wenn die Druckwelle nicht gestört wird. Aber selbst in einer geraden, unverzweigten Rohrleitung kann die beim Ventilschließen entstandene Druckwelle überlagert werden. Nämlich dann, wenn die Laufzeit der Druckwelle vom Ventil bis zum anderen Ende der Rohrleitung und wieder zurück, langsamer ist, als die Schießzeit des Ventils.

Vor Verwendung der Joukowsky-Gleichung ist stets zu überprüfen, ob die Gleichung anwendbar ist!

Randbedingungen

Die Qualität einer Druckstoßrechnung steht und fällt mit der Genauigkeit der Randbedingungen. Oft werden bei der Joukowsky-Gleichung Dichte und Wellenausbreitungsgeschwindigkeit (Schallgeschwindigkeit) als Konstanten angesehen. In Wirklichkeit sind jedoch beide Größen systemabhängig.

Wellenausbreitungsgeschwindigkeit

Wasser hat in einem unendlichen großen Reservoir eine Wellenausbreitungsgeschwindigkeit von ca. 1482 m/s (bei 20°C). In einer Rohrleitung wird durch Wechselwirkungen mit Rohrwand dieser Wert reduziert. Je elastischer das Rohrmaterial und je dünnwandiger die Rohrwand, desto geringer die Wellenausbreitungsgeschwindigkeit. Stahlleitungen sind in der Größenordnung 1000 m/s, elastische Schläuche unter 100 m/s. Zusätzlich ist auch eine Temperaturabhängigkeit gegeben. Darüber hinaus reduzieren freie Gasbläschen in der Flüssigkeit die Wellenausbreitungsgeschwindigkeit deutlich.


Hier noch ein Link zu einer Tabelle mit Wellenausbreitungsgeschwindigkeiten verschiedener Stoffe.

Dichte

Auch die Dichte ist nicht konstant, sondern vom Systemdruck abhängig. Der Einfluss ist bei Wasser zwar vergleichsmäßig gering, aber bei folgendem Wertepaar wird ersichtlich, dass auch Wasser (schwach) kompressibel ist.

 

20 °C, 1 bar: Dichte = 998,21 kg/m³

20 °C, 100 bar: Dichte = 1002,69 kg/m³

 

Faustregel: Bei 100 bar Druckerhöhung steigt die Dichte von Wasser um 0,5%.

Berechnungshilfen

Reduzierte Wellenausbreitungsgeschwindigkeit
Excel-Tool zum Berechnen der reduzierten Wellenausbreitungsgeschwindigkeit.
Reduzierte Wellenausbreitungsgeschw.xls
Microsoft Excel Tabelle 20.5 KB

www.shaker.de

Letzte Aktualisierung:

02.11.2018